0. Wstęp.

Przedstawię całkowicie kowariantny sposób podejścia
do teorii grawitacji, i co się z tym łączy, także
teorię pól w przestrzeni zakrzywionej.
IMHO, w tradycyjnym ujęciu, szczególnym problemem
jest opisanie ruchu fermionów w polu grawitacyjnym
(=w przestrzeni zakrzywionej)..jest wręcz niemożliwe.
Pokażę nie tylko jak łatwo wprowadzić r. Diraca
w zewnętrznym polu grawitacyjnym - co jest zadaniem łatwym-
- ale też jak wydedukować działanie dla cząstki o spinie 3/2.

Zmiennymi dynamicznymi, w naszym podejściu, nie będą
składowe tensora metrycznego g_mn(x), ale formy wielbeinu:
(vielbein forms):

E(x)^a = dx^m E(x)_m^a (0.1)

E^a definiują nam lokalny układ współrzędnych w przestrzeni
TM*_x, a wieć pola E^a określają nam lokalne układy w całej
czasoprzestrzeni.
Uwaga terminologiczna: Użyłem spolszczonego słowa wielbein,
gdyż nazwa zaproponowana przez Komisję Nazewnictwa Fizycznego
http://ptf.fuw.edu.pl/nazew.html - "wielonóg" brzmi dla mnie
kabaretowo.Z drugiej strony najpoprawniejsza (wd mnie) nazwa
"formy reperu ruchomego" jest zbyt długa.

Wracając do form wielbeinu, dlaczego wybrałem inną bazę a nie np
bazę {dx^m}? Otóż chcę aby teoria przypominała teorię Yanga Millsa,
z tym, że grupą strukturalną byłyby lokalne (zależne od x) transformacje
Lorentza. Z chwilą wyboru tego, że E^a jest wektorem Lorentza,
nawiązujemy kontakt z tradycyjną wersją teorii - samo określenie
"lorentzowski" wymaga metryki h_ab = (-+++) w TM*xTM*, a to
automatycznie okresla nam metrykę w TMxTM:

g_mn = h_ab E_m^a E_n^b (0.2)

Uwaga notacyjna:używam wskaźników z początku alfabetu na oznaczenie
tensorów Lorentza (ogólniej tensorów ze względu na grupę cechowania),
a ze środka alfabetu dla tensorów Einsteina...będę również używał
wskaźników z końca alfabetu (u,v,t..) dla tensorów spinorowych.

Mamy zatem pola wielbeinu E(x)_m^a, które transformują się dwojako:
ze względu na zmianę zmiennych x->y(x) oraz lokalnych transformacji
Lorentza. W wersji infinitezymalnej ( y = x - q(x) ):

\delta(E_m^a) = -(q^n d_n)E_m^a -(d_m q^n)E_n^a (0.3)

\delta(E_m^a) = E_m^b L(x)_b^a

gdzie d_n = d/dx^n ; L_a^b jest zależnym od x generatorem
grupy Lorentza.

Zauważmy, że formy E^a są niezmiennicze ze względu na zmiany zmiennych,
oraz na analogię z polami Y-M - A(x)^a, z tym że wskaźnik a
oznacza tu reprezentację dołączoną zwartej grupy Lie.
Zatem sam formalizm form różniczkowych zapewnia nam pełną kowariantność
na transformacje zmiennych.

Za pomocą pól wielbeinu E_m^a (oraz ich odwrotności E_a^m)...
....pola te będę czasem nazywał grawitonem... możemy zamieniać
wektory Lorentza na Einsteina i vice wersa:

V^n = V^a E_a^n ; V^a = V^n E_n^a (0.4)

NIE MA natomiast wielbeinu E_m^v...nie ma więc einsteinowskiego
odpowiednika spinora. W tym (mniej więcej) tkwi trudność wprowadzenia
oddziaływania spinu z grawitacją w tradycyjnym sformułowaniu teorii,
jeżeli posługiwać się będziemy tylko tensorami Einsteina oraz
koneksją Christoffela.
(Inna sytuacja jest w supergrawitacji, gdzie mamy grawitino E_m^v,E_m^v*)

Zobaczymy, że sama algebra form jest zbyt uboga do konstrukcji
"sensownych", tj dodatnio określonych lagrażjanów.
Mój pomysł na usuniecie tej przypadłości polega na wykorzystaniu
również algebry spinorowej. Wiemy bowiem, że przestrzeń wektorów
Lorentza jest izomorficzna z przestrzenią bispinorów
(tensorów spinorowych z jadnym wskaźnikiem kropkowanym i jednym
niekropkowanym).

Będę w miarę potrzeby (i natchnienia) dopisywał dygresje dotyczące
klasycznego sformułowania teorii i jej związku z nowoczesną postacią.
Również potrzebne wyjaśnienia i dygresje notacyjne
będę dodawał na bieżąco.
-------------------------------------------------------------------

1. Algebra form różniczkowych, forma koneksji,formy torsyjne i krzywizny.

1.1 Formy różniczkowe.

k-formę M zapiszę w bazie {dx^m}:

M = dx^m1/\dx^m2.../\dx^mk M_m1,m2...mk (1.1)

Od tej chwili nie będę zaznaczał iloczynu zewnętrznego "/\",
jeżeli np napiszę MN, gdzie M k-forma a N q-forma, to
oznacza to automatycznie iloczyn zewnętrzny.
Iloczyn zewnętrzny na następujące własności:

liniowość: (aM+bN)P = aMP + bNP
łączność: (MN)P = M(NP) (1.2)
MN = (-)^kq NM

Różniczka zewnętrzna d odwzorowuje k-formy w k+1 formy:

dM = dx^m1...dx^mk (dx^n d/dx^n) M_m1...mk (1.3)

i ma następujące własności:

d(M+N) = dM + dN
d(MN) = MdN + (-)^q dNM (1.4)
dd = 0

Zmiany zmiennych x --> y= f(x) indukują odwzorowanie
tej samej formy w dwóch różnych bazach:

M(y) = f*M(x) = dx^m(dy^n/dx^m)....M_n... (1.5)

Np dla 0-formy (czyli funkcji mamy f*F(x) = F(y(x)).
Dla transformacji infinitezymalnej y = x + q(x):

\delta(F) = -q^n d_n F(x)
\delta(M_m) = -q^n d_n M_m - (d_m q^n)M_n (1.6)
(dla 1-formy tak jak w 0.3)

f* ma następujące własności:

f*(MN) = (f*M)(f*N)
f*(M+N) = f*M + f*N (1.7)
d(f*M) = f*(dM)

Oczywiście zakładam znajomość teorii form różniczkowych -
- to powyżej służy tylko ustaleniu notacji.

1.2 Kowariantny odpowiednik "d" - formy koneksji.

Niestety różniczka zewnętrzna d nie odwzorowuje nam k-form
które są jednocześnie tensorami grupy strukturalnej (Lorentza)
na tensory Lorentza, niech V^a będzie k-formą,a B_a^b
elementem grupy wtedy:

d(V'^a) = d(V^b B_b^a)= d(V.B) = dV.B + V.dB
("." oznacza mnożenie macierzowe)

Przeszkadza nam człon niejednorodny V.dB.
Wprowadźmy zatem 1-formę W_a^b o wartościach (jak widać)
w algebrze Liego grupy Lorentza, o następujących własnościach
transformacyjnych:

W' = B^-1.W.B - B^-1.dB (1.8)

Wtedy

DV^a = dV^a + V^b W_b^a (1.9)

jest tensorem lorentzowskim, rzeczywiście:

D(V.B) = dV.B + V.dB + V'.W' = (DV).B

Infinitezymalnie transformację (1.8) zapiszemy:

\delta(W) = [W,L]_a^b - dL_a^b (1.10)

Ponieważ koneksja W ma wartości w algebrze Liego grupy
Lorentza, a więc W_ab = - W_ba. Tą koneksję nazywamy
także koneksją spinową..a dlaczego to powiem później,
po wstępie do algebry spinorowej.
W bazie {dx^m} współczyniki koneksji W_ma^b określamy:

W_a^b = dx^m W_ma^b

"m" jest indeksem Einsteina - transformuje się jak
w 1.6, natomiast a i b są indeksami Lorentza.

Dla wprawy policzmy explicite kowariantne wersje
pochodnych dla pól wektorowych F^a (czyli 0-form):

DF^a := dx^m (D_m F)^a = dx^m d_mF^a + dx^m F^b W_mb^a

czyli

D_m F^a = d_m F^a + F^b W_mb^a (1.11)

Wykorzystując fakt, że F^a F_a jest skalarem lorentzowskim,
dostajemy natychmiast działanie D na wektor kowariantny:

DF_a = dF_a - W_a^b F_b

a więc

D_m F_a = d_m F_a - W_ma^b F_b (1.12)

Gdzie tylko będzie to możliwe będę starał się wyrazić wielkości
fizyczne za pomocą tensorów lorentzowskich, zatem w bazie E^a:

D = dx^m D_m = E^a D_a

a to implikuje

D_a F^b = E_a^m D_m F^b (1.13)
D_a F_b = E_a^m D_m F_b

Policzmy jeszcze dla wprawy DV^a w przypadku 1-formy V^a
w obu bazach:

DV^a = dx^m dx^n D_n V_m^a = 1/2 dx^mdx^n{D_n V_m^a - D_m V_n^a}

DV^a = D(E^b V_b^a) = 1/2 E^b E^c{D_b V_b^a - D_c V_b^a} + D(E^d)V_b^a

Zauważmy, że w bazie wielbeinu pojawił się czynnik torsyjny DE^b.

Dygresja: Pochodne kowariantne NIE SĄ takie same jak pochodne
kowariantne wektorów einsteinowskich w zwykłej teorii
z koneksją Christoffela. Aby to zobaczyć zdefiniujmy
"Der":(k-formy) --> (k+1 formy) w ten sposób aby Der(V_n)
był wektoren einsteinowskim:

Der V_n = E_n^a DV_a

jak łatwo policzyć

Der_m V_n = (d_m V_n + Gamma_mn^k V_k)

gdzie Gamma_mn^k = E_m^a(D_n E_a^k)

Proszę sprawdzić, że w przypadku znikania 2-formy
torsyjnej (DE^a = 0) jest symetryczną koneksją Christoffela.
Pora kończyć...w następnym poście napiszę o formach torsyjnych i krzywizny,
tożsamościach Bianchi 1-szego i 2-giego rodzaju, a także o algebrze
spinorowej...cdn

Marek Józefowski wrote:
> 0. Wstęp.

off-topicznie zapytam.. bo nie jest mi niestety dane przesledzic
twoich artykulow: ..to takie hobby czy cos wiecej? :)

pior wrote on 18/12/2005 5:43 pm:

>> 0. Wstęp.
>
> off-topicznie zapytam.. bo nie jest mi niestety dane przesledzic
> twoich artykulow: ..to takie hobby czy cos wiecej? :)

Pisanie na psf czy fizyka?...w obu przypadkach tak, to hobby.
Proszę się nie zrażać dość nudnym i technicznym charakterem
pierwszych postów - najciekawsze będzie na końcu.
BTW, na pomysł (pewnie nie oryginalny) jak najprościej
opisać oddziaływanie spinu z grawitacją wpadłem podczas
niedawnego "urlopu zdrowotnego"..ale same jego sformułowanie
bez zdefiniowania "zaplecza technicznego" byłoby bez sensu.
Następny odcinek najprawdopodobniej dopiero w styczniu.

Marek J=?ISO-8859-1?B?8w==?=zefowski <marjozef> napisał(a):
> pior wrote on 18/12/2005 5:43 pm:
> >> 0. Wstęp.
> > off-topicznie zapytam.. bo nie jest mi niestety dane przesledzic
> > twoich artykulow: ..to takie hobby czy cos wiecej? :)
> Pisanie na psf czy fizyka?...w obu przypadkach tak, to hobby.
> Proszę się nie zrażać dość nudnym i technicznym charakterem
> pierwszych postów - najciekawsze będzie na końcu.
> BTW, na pomysł (pewnie nie oryginalny) jak najprościej
> opisać oddziaływanie spinu z grawitacją wpadłem podczas
> niedawnego "urlopu zdrowotnego"..ale same jego sformułowanie
> bez zdefiniowania "zaplecza technicznego" byłoby bez sensu.
> Następny odcinek najprawdopodobniej dopiero w styczniu.
Przyznam szczerze ze czekam z zainteresowaniem, bowiem we wstepie, poza
pomyslem uzycia zminnego repera nie znalazlem na razie nic rewolucyjnego ;-)
Appropos: jak zdrowie?
Pozdrawiam
Kazek

Marek Józefowski <marjozef> writes:

> Następny odcinek najprawdopodobniej dopiero w styczniu.

Zachęcałbym Cię do zlatexowania swojego artykuły i umieszczenia
postscriptu gdzieś w sieci. Byłoby to znacznie łatwiej czytać, zwłaszcza
gdy ma być to dłuższa rozprawa.

jj

jimmij <jimmij> napisał(a):
> Marek Józefowski <marjozef> writes:
> > Następny odcinek najprawdopodobniej dopiero w styczniu.
> Zachęcałbym Cię do zlatexowania swojego artykuły i umieszczenia
> postscriptu gdzieś w sieci. Byłoby to znacznie łatwiej czytać, zwłaszcza
> gdy ma być to dłuższa rozprawa.
A tak!
To dobry pomysl jest
kazek

On Tue, 20 Dec 2005 15:06:10 +0100, jimmij wrote:
>Marek Józefowski <marjozef> writes:
>> Następny odcinek najprawdopodobniej dopiero w styczniu.

>Zachęcałbym Cię do zlatexowania swojego artykuły i umieszczenia
>postscriptu gdzieś w sieci. Byłoby to znacznie łatwiej czytać, zwłaszcza
>gdy ma być to dłuższa rozprawa.

to nie lepiej zpedeefowac ?

J.

czesc!
Na początku chciałbym powiedzieć, że nie przebijałem się dokładnie przez Twój
post, jednak wydaje mi się, że piszesz o rzeczach dobrze znanych. Kwestia
odziaływania fermionów z grawitacją to nic innego jak wyjście od innego
działania, tzn. od działania Palatiniego, gdzie formy reperu i koneksji są
niezależne, a nie od działania Hilberta Einsteina. I tyle. Wtedy w obecności pól
fermionowych torsja jak piszesz nie znika.
Z innej beczki, to "problem" z kowariantnymi grawitacjami jest taki, że nie da
się ich kwantować kanonicznie...

pozdrawiam
L.
[..]

Luki wrote on 21/12/2005 4:44 pm:

> czesc!
> Na początku chciałbym powiedzieć, że nie przebijałem się dokładnie przez Twój
> post, jednak wydaje mi się, że piszesz o rzeczach dobrze znanych. Kwestia
> odziaływania fermionów z grawitacją to nic innego jak wyjście od innego
> działania, tzn. od działania Palatiniego, gdzie formy reperu i koneksji są
> niezależne, a nie od działania Hilberta Einsteina. I tyle. Wtedy w obecności
> pól
> fermionowych torsja jak piszesz nie znika.
> Z innej beczki, to "problem" z kowariantnymi grawitacjami jest taki, że nie da
> się ich kwantować kanonicznie...
>
> pozdrawiam
> L.

Parę sprostowań:
- nie piszę o afinicznej teorii, ale zwykłej.
Stąd zapostulowanie grupy Lorentza jako strukturalnej,
co automatycznie oznacza istnienie *metryki*,
zapewnia też, że jednym z rozwiązań jest zwykła p. Minkowskiego.
- kwestia oddziaływania fermionów z grawitacją nie jest
uzależniona od niezależności koneksji i wielbeinu.
Nie pisałem nic takiego:"w obecności pól fermionowych
torsja nie znika"
-Oczywiście, że to wszystko jest znane...to co może być
pewną nowością (będzie o tym w dalszych postach) to sposób
konstrukcji lagranżjanów.Polega to z grubsza na dołączeniu do
algebry zewnętrznej również algebry spinorowej.
- napisanie r. Diraca w polu grawitacyjnym to żaden problem,
ale już podanie r. ruchu dla cząstki o spinie 3/2 już
nie jest takie trywialne (przynajmniej dla mnie)...temu też
będzie służyć podana konstrukcja.